cos18度的几何解法？

sin3α=sin(α+2α)=sinαcos2α+cosαsin2α=sinα(1-2sin2α)+2sinα(1-sin2α)

=3sinα-4sin3α

(三倍角公式)

∵sin54°=cos36°

∴3sin18°-4sin318°=1-2sin218°

∴4sin318°-2sin218°-3sin18°+1=0

∴4sin318°-4sin218°+2sin218°-3sin18°+1=0

∴4sin218°(sin18°-1)+(2sin18°-1)(sin18°-1)=0

∵sin18°≠1

∴4sin218°+2sin18°-1=0

∴sin18°=[-2±(√20)]/8(负舍)

∴sin18°=(√5-1)/4

其他三角函数就好算了

cos18°=√(1-(sin18°)2)

tan18°=sin18°/cos18°

sin(18°)=(√5-1)/4≈0.309。正弦，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。

sin18度等于多少

解法1.令x=18°

∴cos3x=sin2x

∴4(cosx)^3-3cosx=2sinxcosx

∵cosx≠0

∴4(cosx)^2-3=2sinx

∴4sinx2 2sinx-1=0,

又0<sinx<1

∴sinx=(√5-1)/4

即sin18°=(√5-1)/4.

解法2.作顶角为36°、腰长为1的等腰三角形ABC,BD为其底角B的平分线，设AD=x

则AD=BD=BC=x,DC=1-x.

由相似三角形得：x2=1-x

∴x=(√5-1)/2

∴sin18°=x/2=(√5-1)/4.

正弦函数相关公式

平方和关系

（sinα）^2 （cosα）^2=1

积的关系

sinα=tanα×cosα（即sinα/cosα=tanα）

cosα=cotα×sinα（即cosα/sinα=cotα）

tanα=sinα×secα(即tanα/sinα=secα)

倒数关系

tanα×cotα=1

sinα×cscα=1

cosα×secα=1

商的关系

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

和角公式

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

sin(α β γ)=sinα·cosβ·cosγ cosα·sinβ·cosγ cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α±β)=cosαcosβ?sinβsinα

tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1?tanαtanβ)

倍角半角公式

sin(2α)=2sinα·cosα

sin(3α)=3sinα-4sin&sup3;(α)=4sinα·sin(60 α)sin(60-α)

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

由泰勒级数得出

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

级数展开

sinx=x-x3/3! x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)! ...(-∞<x<∞)

导数

（sinx）'=cosx

（cosx)'=﹣sinx

cos18度≈0.3090，cos18度的几何解法如下：

作等腰三角形ABC，其中AB=AC=m，BC=2n，<BAC=36?，<ABC=ACB=72?，作AD⊥BC，垂足为D，则BD=CD=n

在三角形ABC中由正弦定理：

AB/sin(72?)=BC/sin(36?)

即n/m=sin(36?)/(2sin(72?))①

在直角三角形ADC中，由正弦定理：

sin(18?)=CD/AC=n/m②

倍角公式：

sin(72?)=2sin(36?)cos(36?)③

cos(36?)=(1-2sin2(18?))④

由①②③④得：

sin(18?)=1/(4(1-2sin2(18?)))⑤

令t=sin(18?)代入⑤中换元得：

-8t3+4t-1=0，解得：

t≈-0.8090或t=0.5或t≈0.3090

因0<18?<30?，则0<t<0.5⑥，则t≈0.3090

令f(t)=-8t3+4t-1，当t∈[-0.5，0.5]时作图(“绘图示例”)

f(t)=0(如图“expressions”所示：绿线y=0，黄线、紫线、蓝线与绿线的交点对应的t值即为方程的三个根)，有一个根为0.5，设其它两个根分别为x，y，那么：

8(t-0.5)(t-x)(t-y)=8t3-4t+1(待定系数法)

左边展开后：

8t3-8t2(x+y+0.5)+t(4x+4y+8xy)-4xy=8t3-4t+1，则：

x+y=-0.5⑦

xy=-0.25⑧

联合⑦⑧式，解得：

t=x=(-1+(√5))/4(符合⑥，“expressions”图示紫线)，

或t=y=(-1-(√5))/4(舍去，不符合⑥，“expressions”图示黄线)，

或t=0.5(舍去，不符合⑥，“expressions”图示蓝线)

sin3α=sin(α+2α)=sinαcos2α+cosαsin2α=sinα(1-2sin2α)+2sinα(1-sin2α)

=3sinα-4sin3α

(三倍角公式)

∵sin54°=cos36°

∴3sin18°-4sin318°=1-2sin218°

∴4sin318°-2sin218°-3sin18°+1=0

∴4sin318°-4sin218°+2sin218°-3sin18°+1=0

∴4sin218°(sin18°-1)+(2sin18°-1)(sin18°-1)=0

∵sin18°≠1

∴4sin218°+2sin18°-1=0

∴sin18°=[-2±(√20)]/8(负舍)

∴sin18°=(√5-1)/4

其他三角函数就好算了

cos18°=√(1-(sin18°)2)

tan18°=sin18°/cos18°